حل تمرین صفحه 105 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 105 - سوال 1 برای حل این سوال، باید دو مرحله را طی کنیم: ابتدا **حجم مکعب** را محاسبه کنیم و سپس حاصل را به صورت توانی با **پایه ۲** بنویسیم. ### گام ۱: محاسبه حجم مکعب فرمول حجم مکعب ($V$) برابر است با: $$V = \text{ضلع} \times \text{ضلع} \times \text{ضلع} = \text{ضلع}^3$$ چون طول ضلع مکعب $8 \text{cm}$ است: $$V = 8^3 \text{ cm}^3$$ ### گام ۲: تبدیل پایه به عدد ۲ حالا باید عدد ۸ را به صورت یک توان با پایه ۲ بنویسیم: $$8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$$ مقدار $8^3$ را با جایگزینی $2^3$ به جای ۸ می‌نویسیم: $$8^3 = (2^3)^3$$ ### گام ۳: استفاده از قانون توانِ توان طبق قانون $(a^n)^m = a^{n \times m}$، توان‌های درونی و بیرونی را در هم ضرب می‌کنیم: $$(2^3)^3 = 2^{3 \times 3} = 2^9$$ **پاسخ نهایی: $2^9 \text{ cm}^3$**

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 105 - تمرین 2 "بیست و هفت برابر عدد $9^5$" به معنای ضرب عدد ۲۷ در $9^5$ است: $$\mathbf{27 \times 9^5}$$ برای اینکه حاصل این عبارت را به صورت یک عدد توان‌دار بنویسیم، باید کاری کنیم که **پایه‌ها مساوی شوند** تا بتوانیم توان‌ها را جمع کنیم. ### گام ۱: تبدیل پایه‌ها به کوچک‌ترین عامل اول پایه‌های موجود ۲۷ و ۹ هستند که هر دو از توان‌های عدد **۳** ساخته شده‌اند: * $27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3$ * $9 = 3 \times 3 = 3^2$ ### گام ۲: جایگزینی و ساده‌سازی حالا این عبارات توان‌دار را جایگزین می‌کنیم: $$27 \times 9^5 = 3^3 \times (3^2)^5$$ ### گام ۳: استفاده از قانون توانِ توان از قانون $(a^n)^m = a^{nm}$ برای $(3^2)^5$ استفاده می‌کنیم: $$(3^2)^5 = 3^{2 \times 5} = 3^{10}$$ ### گام ۴: استفاده از قانون ضرب با پایه‌های مساوی حالا حاصل ضرب را به دست می‌آوریم: $$3^3 \times 3^{10} = 3^{3+10} = 3^{13}$$ **پاسخ نهایی: $3^{13}$**

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 105 - تمرین 3 این تمرین شامل استفاده از قوانین مختلف توان‌ها (توانِ توان، ضرب با پایه‌های مساوی، ضرب با توان‌های مساوی) است. ### ۱. موارد استفاده از قانون توانِ توان 1. **$[(-3)^2]^2 = (-3)^{2 \times 2} = (-3)^4 = 3^4$** * (توان ۴ زوج است، پس پایه منفی به مثبت تبدیل می‌شود.) 2. **$[3^2]^2 = 3^{2 \times 2} = 3^4$** ### ۲. موارد استفاده از قوانین ضرب 3. **$2^5 \times 2^3 \times 3^2 \times 6^3$** * عبارت $6^3$ را به عوامل اولش تجزیه می‌کنیم: $6^3 = (2 \times 3)^3 = 2^3 \times 3^3$. * $2^5 \times 2^3 \times 3^2 \times (2^3 \times 3^3)$ * **پایه‌های ۲:** $2^{5+3+3} = 2^{11}$ * **پایه‌های ۳:** $3^{2+3} = 3^5$ * **جواب: $2^{11} \times 3^5$** 4. **$2^3 \times 3^4 \times 2^3 \times 3^0$** * $3^0 = 1$ * **پایه‌های ۲:** $2^{3+3} = 2^6$ * **پایه‌های ۳:** $3^4 \times 1 = 3^4$ * **جواب: $2^6 \times 3^4$** 5. **$25 \times 2^2 \times 3^2 \times 6^3$** * $25 = 5^2$ * $6^3 = 2^3 \times 3^3$ * عبارت: $5^2 \times 2^2 \times 3^2 \times 2^3 \times 3^3$ * **پایه‌های ۲:** $2^{2+3} = 2^5$ * **پایه‌های ۳:** $3^{2+3} = 3^5$ * **پایه‌های ۵:** $5^2$ * **جواب: $2^5 \times 3^5 \times 5^2 = 6^5 \times 5^2$** (یا $2^5 \times 3^5 \times 5^2$) 6. **$(-\frac{5}{6})^3 \times (\frac{7}{5})^3 \times (\frac{3}{7})^3$** * توان‌ها مساوی (۳) هستند، پس پایه‌ها را در هم ضرب می‌کنیم: * $((-\frac{5}{6}) \times \frac{7}{5} \times \frac{3}{7})^3$ * کسرها را ساده می‌کنیم: $(-\frac{\cancel{5}}{6} \times \frac{\cancel{7}}{\cancel{5}} \times \frac{3}{\cancel{7}})^3 = (-\frac{3}{6})^3 = (-\frac{1}{2})^3$ * **جواب: $(-\frac{1}{2})^3$** 7. **$(x^2)^5 \cdot (y^3)^2 \cdot x^3 y^2$** * **توانِ توان:** $(x^2)^5 = x^{10}$ و $(y^3)^2 = y^6$ * عبارت: $x^{10} \cdot y^6 \cdot x^3 y^2$ * **پایه‌های $x$:** $x^{10+3} = x^{13}$ * **پایه‌های $y$:** $y^{6+2} = y^8$ * **جواب: $x^{13} y^8$**

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 105 - سوال 4 هدف از این سوال، پیدا کردن **توان‌های طبیعی** برای پایه $-2$ است به طوری که حاصل، بزرگتر از ۱۵ شود. ### ۱. بررسی توان‌های فرد و زوج * **اگر $\bigcirc$ (توان) فرد باشد:** حاصل $(-2)^{\text{فرد}}$ **منفی** خواهد شد (مثلاً $-2, -8, -32, ...$). هیچ عدد منفی بزرگتر از ۱۵ نیست. * **اگر $\bigcirc$ (توان) زوج باشد:** حاصل $(-2)^{\text{زوج}}$ **مثبت** خواهد شد (مثلاً $4, 16, 64, ...$). بنابراین، برای درست بودن نامساوی، $\bigcirc$ حتماً باید یک **عدد طبیعی زوج** باشد. ### ۲. بررسی توان‌های زوج حالا توان‌های زوج را به جای $\bigcirc$ قرار می‌دهیم و حاصل را با ۱۵ مقایسه می‌کنیم: * **$\bigcirc = 2$ (زوج):** $(-2)^2 = 4$. آیا $4 > 15$؟ **نادرست.** * **$\bigcirc = 4$ (زوج):** $(-2)^4 = 16$. آیا $16 > 15$؟ **درست.** * **$\bigcirc = 6$ (زوج):** $(-2)^6 = 64$. آیا $64 > 15$؟ **درست.** * **$\bigcirc = 8$ (زوج):** $(-2)^8 = 256$. آیا $256 > 15$؟ **درست.** به طور کلی، هر عدد طبیعی زوجی که بزرگتر یا مساوی ۴ باشد، نامساوی را برقرار می‌کند. ### نتیجه عددهای طبیعی که می‌توان به جای $\bigcirc$ نوشت، عبارتند از: **تمام اعداد طبیعی زوج بزرگتر یا مساوی ۴**. $$\mathbf{\{4, 6, 8, 10, 12, ...\}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 105 - تمرین 5 این تمرین در مورد **جمع اعداد توان‌دار مشابه** است. وقتی چند عدد کاملاً یکسان (مثل $a^n$) با هم جمع می‌شوند، این جمع را می‌توان به صورت یک **ضرب** نوشت. $$\mathbf{\underbrace{a^n + a^n + ... + a^n}_{k \text{ بار}} = k \times a^n}$$ ### قسمت اول: حاصل $2^3 + 2^3 + 2^3$ ما در اینجا **سه بار** عدد $2^3$ را با هم جمع کرده‌ایم. پس می‌توانیم آن را به صورت ضرب بنویسیم: $$2^3 + 2^3 + 2^3 = 3 \times 2^3$$ چون پایه‌ها (۳ و ۲) متفاوت هستند، اگر بخواهیم آن را به صورت یک عدد توان‌دار با یک پایه بنویسیم، باید تجزیه بیشتری انجام دهیم. اما در اینجا پایه‌ها فرق دارند و این ساده‌ترین حالت توان‌دار است. * (در اینجا به نظر می‌رسد در تصویر اصلی، سوال به صورت $2^7 + 2^7 + 2^7$ بوده و پاسخ آن مد نظر است، اما طبق متن سوال $2^3 + 2^3 + 2^3$ نوشته شده است. هر دو را حل می‌کنیم تا مطمئن شویم.) **اگر عبارت $2^3 + 2^3 + 2^3$ باشد:** $$3 \times 2^3$$ **اگر عبارت $2^7 + 2^7 + 2^7$ باشد (که احتمالاً هدف سوال است تا به یک پایه واحد برسد):** $$2^7 + 2^7 + 2^7 = 3 \times 2^7$$ ### قسمت دوم: حاصل $3^5 + 3^5 + 3^5$ ما در اینجا **سه بار** عدد $3^5$ را با هم جمع کرده‌ایم. پس آن را به صورت ضرب می‌نویسیم: $$3^5 + 3^5 + 3^5 = 3 \times 3^5$$ ### گام نهایی: استفاده از قانون ضرب با پایه‌های مساوی عدد ۳ را می‌توان به صورت $3^1$ نوشت. حالا پایه‌ها مساوی (۳) هستند، پس توان‌ها را جمع می‌کنیم: $$3^1 \times 3^5 = 3^{1+5} = 3^6$$ **پاسخ نهایی قسمت دوم: $3^6$**

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 105 - تمرین 6 در این تمرین باید اعداد **۱، ۲، ۳، و ۴** را در جاهای خالی قرار دهیم تا تساوی زیر برقرار شود: $$\text{$\bigcirc$} \times (\text{$\bigcirc$})^3 = 5^{\text{$\bigcirc$}} - (\text{$\bigcirc$})$$ این یک مسئله آزمون و خطا (حدس و آزمایش) هوشمندانه است. ابتدا باید سعی کنیم سمت راست و چپ تساوی به اعدادی برسند که قابلیت برابری داشته باشند. ### تحلیل عبارت‌ها **سمت چپ:** $\text{P}_1 \times (\text{P}_2)^3$ * اگر $\text{P}_2$ کوچک باشد، $\text{P}_1 \times 1$ یا $\text{P}_1 \times 8$ می‌شود. **سمت راست:** $5^{\text{P}_3} - \text{P}_4$ * اگر $\text{P}_3 = 4$ باشد، $5^4 = 625$. * اگر $\text{P}_3 = 3$ باشد، $5^3 = 125$. * اگر $\text{P}_3 = 2$ باشد، $5^2 = 25$. * اگر $\text{P}_3 = 1$ باشد، $5^1 = 5$. ### پیدا کردن راه‌حل با توجه به اینکه اعداد ۱ تا ۴ کوچک هستند، احتمالاً مقدار $\text{P}_3$ باید ۲ یا ۳ باشد تا با سمت چپ قابل مقایسه باشد. **حالت ۱: قرار دادن $2$ به عنوان توان ($\text{P}_3 = 2$)** سمت راست: $5^2 - \text{P}_4 = 25 - \text{P}_4$ اعداد باقی‌مانده: $1, 3, 4$ * اگر $\text{P}_4 = 1$: سمت راست $= 25 - 1 = 24$ * سمت چپ: $\text{P}_1 \times (\text{P}_2)^3 = 24$. ($\text{P}_1 = 3, \text{P}_2 = 4$). $3 \times 4^3 = 3 \times 64 = 192$ (نادرست) * اگر $\text{P}_4 = 3$: سمت راست $= 25 - 3 = 22$ * اگر $\text{P}_4 = 4$: سمت راست $= 25 - 4 = 21$ **حالت ۲: قرار دادن $3$ به عنوان توان ($\text{P}_3 = 3$)** سمت راست: $5^3 - \text{P}_4 = 125 - \text{P}_4$ اعداد باقی‌مانده: $1, 2, 4$ * اگر $\text{P}_4 = 1$: سمت راست $= 125 - 1 = 124$ * اگر $\text{P}_4 = 2$: سمت راست $= 125 - 2 = 123$ **حالت ۳: قرار دادن $2$ به عنوان پایه توان ($\text{P}_2 = 2$)** سمت چپ: $\text{P}_1 \times 2^3 = 8 \times \text{P}_1$ اعداد باقی‌مانده: $1, 3, 4$ * اگر $\text{P}_1 = 3$: سمت چپ $= 8 \times 3 = 24$ * اعداد باقی‌مانده برای سمت راست: $1, 4$. * سمت راست باید ۲۴ شود: $5^{ ext{P}_3} - \text{P}_4 = 24$. * $\text{P}_3 = 2, ext{P}_4 = 1$. $5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$. **(درست)** ### نتیجه تساوی درست با قرار دادن: * جای خالی اول ($\text{P}_1$): **$3$** * جای خالی دوم ($\text{P}_2$): **$2$** * جای خالی سوم ($\text{P}_3$): **$2$** * جای خالی چهارم ($\text{P}_4$): **$1$** $$\mathbf{3 \times (2)^3 = 5^2 - 1}$$ $$\mathbf{3 \times 8 = 25 - 1}$$ $$\mathbf{24 = 24}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 105 - تمرین 7 هدف از این تمرین، جاگذاری مقادیر داده شده ($a=6$، $b=-2$، $c=-4$) در عبارت‌های جبری و محاسبه حاصل آن‌ها است. هنگام انجام این کار، باید به **ترتیب عملیات** (پرانتز، توان، ضرب و تقسیم، جمع و تفریق) و همچنین **قواعد مربوط به علامت‌ها** توجه کنید. ### الف) $-2(a+b^2) + \frac{c^2}{b}$ #### گام ۱: جایگذاری مقادیر $$-2(6+(-2)^2) + \frac{(-4)^2}{-2}$$ #### گام ۲: انجام عملیات توان * $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$ * $(-4)^2 = (-4) \times (-4) = 16$ $$-2(6+4) + \frac{16}{-2}$$ #### گام ۳: انجام عملیات داخل پرانتز و تقسیم * داخل پرانتز: $6+4 = 10$ * تقسیم: $\frac{16}{-2} = -8$ $$-2(10) + (-8)$$ #### گام ۴: انجام عملیات ضرب و جمع * ضرب: $-2 \times 10 = -20$ $$-20 - 8 = -28$$ **جواب قسمت الف: $-28$** --- ### ب) $(\frac{a}{b})^2 + bc - 10$ #### گام ۱: جایگذاری مقادیر $$(\frac{6}{-2})^2 + (-2)(-4) - 10$$ #### گام ۲: انجام عملیات داخل پرانتز و ضرب * داخل پرانتز/تقسیم: $\frac{6}{-2} = -3$ * ضرب: $(-2)(-4) = +8$ $$(-3)^2 + 8 - 10$$ #### گام ۳: انجام عملیات توان * توان: $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$ $$9 + 8 - 10$$ #### گام ۴: انجام عملیات جمع و تفریق $$17 - 10 = 7$$ **جواب قسمت ب: $7$**